Markow-Ketten Warteschlangen, mit Näherungen
Stochastik mit MuPAD,
Prof. Dr. Dörte Haftendorn 25.11.04 Version vom 28.11.04
------------------------------------Evaluiere alle Eingaben-----------------------------------------------
lamb
ist der Erwartungswert für die Anzahl der ankommenden Leute in einer (vernünfigen) Zeiteinheit, z.B 1/4 Stunde.
my
ist der Erwartungswert für die Anzahl der bedienten Leute in einer (vernünfigen) Zeiteinheit, z.B 1/4 Stunde.
h ist ein so kleiner Zeitttakt, dass im Takt h niemals zwei Leute ankommen oder zwei bedient werden.

p=lamb*h ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass im (kleinen) Zeittakt h eine Person ankommt.
q= my*h ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass im (kleinen) Zeittakt h eine Person bedient wird.
Zustand i bedeutet: i Personen sind in der Warteschlange. i=0,1,2,3,4... hier bis 5, eigentlich weiter.
Bei dem Ansatz dür die Übergangswahrscheinlichkeiten werden Terme mit h^2 vernachlässigt, denn h
macht man hinreichend klein.

• delete lamb, my,hz:

• Uz:=matrix([[1-lamb*hz,lamb*hz,0,0,0,0,0], [my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0,0,0], 
  [0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0,0], [0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0], 
  [0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0], 
  [0,0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz], 
  [0,0,0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz]])

• lamb:=3: my:=4: quo:=lamb/my

• hz:=1/10;h:=hz*1.0;

• U:=matrix([[1-lamb*h,lamb*h,0,0,0,0,0], [my*h,1-lamb*h-my*h,lamb*h,0,0,0,0], 
  [0,my*h,1-lamb*h-my*h,lamb*h,0,0,0], [0,0,my*h,1-lamb*h-my*h,lamb*h,0,0], 
  [0,0,0,my*h,1-lamb*h-my*h,lamb*h,0], 
  [0,0,0,0,my*h,1-lamb*h-my*h,lamb*h], 
  [0,0,0,0,0,my*h,1-lamb*h-my*h]])
  

Für die Bestimmung des Eigenvektors zum Eigenwert 1:

• U-U^0

• ev:=matrix([[ev1,ev2,ev3,ev4,ev5,ev6,ev7]])

• ev*(U-U^0)

Wenn man dieses gleich Nullvektor setzt und analysisert, folgt

• delete lamb,my:

• quoz:=lamb/my; 

• ev1:=1-quoz

• vvalg:=x->quoz*x

• start:=ev1:n:=7: evalg:=matrix([[start,(vvalg@@i)(start) $ i=1..n-1]])

Die Komponenten des Eigenvektors bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor quoz.
Das bekommt man am besten "von Hand" heraus.
Entscheidend ist, dass die unendliche Summe = 1/(1-quoz) ist und der Startwert 1-quoz.

• lamb:=3: my:=4: quo:=lamb/my

• vv1:=1-quo

• vv:=x->quo*x

• start:=vv1:n:=7:

• evz:=matrix([[start,(vv@@i)(start) $ i=1..n-1]])

• start:=vv1*1.0:n:=7:

• evv:=matrix([[start,(vv@@i)(start) $ i=1..n-1]])

• Uz:=matrix([[1-lamb*hz,lamb*hz,0,0,0,0,0], [my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0,0,0], 
  [0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0,0], [0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0,0], 
  [0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz,0], 
  [0,0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz,lamb*hz], 
  [0,0,0,0,0,my*hz,1-lamb*hz-my*hz]])

• evz;evz*Uz;evv;evv*U;

• evz*Uz^2;evv*U^2

Man sieht an den ersten Komponenten, dass wirklich Eigenvektoren entstanden sind.
Die hinteren Komponenten stimmen nicht, weil die Matrix abgebrochen wurde.
Unendlich viele Zeilen und Spalten kann man natürlich nicht darstellen.