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Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 3.1.1, 3.4.99, Jan 03 Update Sept.05
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1. Vektoren 2D #######
2. Vektoren 3D #######
3. Zwei Geraden #######
4. Ebenen #######
5. Geraden und Ebenen #######
6. Mehrere Ebenen #######
7. Skalarprodukt, Hessesche Normalform....--> Extraseite

1.Vektoren 2D ###################################
Vektoren werden als Matrizen aufgefasst.
Eingabe einer "flachen" Liste erzeugt Spaltenvektoren.

• a := matrix([3,2]);
  v := matrix([6,-2]);

Definition eines Zeilenvektors mit Doppelliste:

• az := matrix([[3,2]]);

Hier wird eine Gerade als Funktion ihres Parameters definiert.
Es ginge aber auch als Term g:=a+r*v

• gv:=r->a+r*v

• gv(r)

• p1:=gv(1)

Zum Zeichnen nimmt man den Pfeil-Befehl.
Es werden drei Graphik-Primitive erzeugt, die dann von plot dargestellt werden.

• ag:=plot::Arrow2d(a);
  p1g:=plot::Arrow2d(a+v);
  vg:=plot::Arrow2d(a,a+v);

• plot(ag,vg,p1g)

Eindrucksvolle annimierte Geradendarstellung:

• vani:=plot::Arrow2d(a,gv(r),r=-2..2)

• plot(ag,vani)

Zum Animieren: Doppeklick in der Graphik, dann oben Player bedienen.
Herausgreifen der Zeilen aus den Verktoren:

• gv(r)[1]

Herstellen der üblichen 2d-Geradengleichung

• gr:=solve({gv(r)[1]=x,gv(r)[2]=y},{y,r})

Hinten kann mann die Gleichung ablesen.
Automatisches Herausgreifen:

• gerade:=gr[1][2][2]

• geradeg:=plot::Function2d(gerade,x=-10..16, LineColor=RGB::Red):
  plot(geradeg,ag,vani);

Zum Animieren: Doppeklick in der Graphik, dann oben Player bedienen.

2.Vektoren 3D ##########################################
Vektoren werden als Matrizen aufgefasst.
Eingabe einer "flachen" Liste erzeugt Spaltenvektoren.

• a := matrix([3,2,-1]);
  v := matrix([6,-2,2]);   o:=matrix([0,0,0]):
  

Hier wird eine Gerade als Funktion ihres Parameters definiert.
Es ginge aber auch als Term g:=a+r*v

• gv:=r->a+r*v
  

• gv(r); gv(1)

Zum Zeichnen nimmt man den Pfeil-Befehl.
Es werden drei Graphik-Primitive erzeugt, die dann von plot dargestellt werden

• ag:=plot::Arrow3d(a);
  p1g:=plot::Arrow3d(a+v);
  vag:=plot::Arrow3d(a,a+v);

• plot(ag,vag,p1g)

3D-Graphik "anfassen", d.h. Doppelkick in der Graphik, dann mit Maus drehen.
Verändern der Eigenschaften:

• ag::LineColor:=RGB::Green:    
  vag::LineColor:=RGB::Magenta:
  p1g::LineStyle:=Dashed:
  

• plot(ag,vag,p1g, Axes=Origin)

Funktion, die 3 Vektoren in eine Liste umwandelt

• vek3Liste:=(v1,v2,v3)->[[ v1[i]$i=1..3 ],[ v2[i]$i=1..3 ],[ v3[i]$i=1..3] ]:

• vek3Liste(o,a,a+v)

3d-Polygone können genau dann gefüllt werden, wenn es sich um Dreiecke handelt.

• dreieck:=plot::Polygon3d(vek3Liste(o,a,a+v),Filled=TRUE)

• plot(dreieck,ag,vag,p1g, Axes=Origin)

Beim Drehen der Graphik kann man nun schön die räumliche Anordnung sehen.

3. Zwei Geraden ####################################

• w:=matrix([1,1,3]);
  wag:=plot::Arrow3d(a,a+w, LineColor=RGB::Black);

• b:=2*a;
  bg:=plot::Arrow3d(b)

• gw:=r->b+r*w

• solve(gw(r)=gv(s),{r,s})

Das überrascht nicht. Die Geraden sind windschief.
Zeichnen von Geraden im Raum
Die einfachste Art ist, den Orts- und den Richtungsvektor (oder ein Vielfaches) zu zeichnen

• gvg:=plot::Arrow3d(a-2*v,a+2*v):
  gwg:=plot::Arrow3d(b-2*w,b+2*w):
   plot(ag,gvg,bg,gwg, Axes=Origin)

4. Ebenen #######################################
Nun soll eine Ebene definiert werden, diesmal ohne Funktion.

• eb:=a+r*v+s*w:
  [a,v,w,eb];

Die Angabe als Liste ist eine Lesehilfe.

• plot(ag,vag,wag)

Bessere Sicht mit Ebenendreieck

• ebene:=plot::Polygon3d(vek3Liste(a,a+v,a+w),Filled=TRUE);

• [a,v,w]

• [a,a+v,a+w]

• ag;vag;wag;

• plot(ebene,ag,vag,wag)

5. Gerade und Ebene

• c:=matrix([-1,2,3]);
  cg:=plot::Arrow3d(c);
  u:=matrix([8,0,-4]);
  ucg:=plot::Arrow3d(c,c+u,LineColor=RGB::Red);

• plot(cg,ucg,ebene,ag,vag,wag)

• gu:=r->c+r*u;

• eb=gu(t)

• solve(eb=gu(t),{r,s,t})

Die Ebene und die Gerade schneiden sich.
Probe und Schnittpunkt

• [subs(eb, r=1/6, s= 1/3), gu(2/3)]

6. Mehrere Ebenen ###########################

• ebe:=(r,s)->c+r*u+s*(v+w): [c,u,v+w]; ebe

• ebeg:=plot::Polygon3d(vek3Liste(c,c+u,c+(v+w)),
  Filled=TRUE, FillColor=[1,0.5,0.5]);plot(ebeg)

• plot(cg,ucg,ebeg,ag,vag,wag,ebene)

• eb=ebe(t,k)

• solve(eb=ebe(t,k),{t,k,r})

Bei drei Gleichungen für die 4 Parameter ist zu erwarten,
dass i.a. ein Parameter unbestimmt bleibt. Hier ist es das s.
Man kann also ablesen, dass Die folgende Gerade Schnittgerade ist:
Übrigens hier zeigt sich, dass es günstig ist, Geraden und Ebenen als Funktionen
ihrer Parameter aufzufassen.

• gs:=s->ebe(2/3,s-1/3);
  gsg:=plot::Arrow3d(gs(0),gs(1))

• plot(cg,ucg,ebeg,ag,vag,wag,ebene,gsg)

Orts und Richtungsvektor der Schnittgeraden sind:
Oben ist nur der Richtungsvektor passend eingezeichnet.

• [gs(0),gs(1)-gs(0)]

7. Skalarprodukt, Hessesche Normaleform.... --> Extraseite und die ist noch nicht geschrieben.
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