Die geheime Macht der mehrfachen Nullstellen

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Allgemeine Rechnungen

f[x_]:=(((x-a))^α)g[x]

a ist α-fache Nullstelle von f, wenn g[a]≠0 ist. (α ≥1)

f'[x]

Simplify[(((-a+x))^(-1+α)) α g[x]+(((-a+x))^α) g'[x]]

ff[x_]:=(((-a+x))^(α-1)) (α g[x]+(-a+x)g'[x])

(α g[x]+(-a+x)g'[x])/.x->a

Satz: Ist a eine  α-fache Nullstelle von f, dann ist a eine (α-1)-fache Nullstelle  der Ableitung f’.

Series[f[x],{x,a,4}]

a=.;

Series[g[x],{x,a,3}]

Series[(((x-a))^s),{x,a,5}]

Ein Polynom ist sein eigenes Taylorpolynom

Table[(D[f[x],{x,k}] (1/(k!))/.α->3//Simplify )/.x->a,{k,4,7}]

Series[(((x-a))^s),{x,a,7}]Series[g[x],{x,a,4}]

Taylor[(((x-a))^s)g(x),{x,a}]= (((x-a))^s)Taylor[g(x),{x,a}]

Beispiele

Bei Polynomen ist alles klar, nun andere: 1. Sinus

fs[x_]:=x Sin[x]

Plot[fs[x],{x,-3,7}]

fs hat bei x=0 eine doppelte Nullstelle, denn

fs[x]==(x^2) ((Sin[x])/x)

Plot[((Sin[x])/x),{x,-3,7}]

Begründung über Zeichnung,  lineare Näherung (Tangente) oder Taylor oder L’Hospital

fs'[x]

fss[x_]:=x (Cos[x]+((Sin[x])/x))

Limit[Cos[x]+((Sin[x])/x),x->0]

Zweites Beispiel: Cos(x)+1

fc[x_]:=Cos[x]+1

Plot[fc[x],{x,-3,7}]

Erkunden mit der Taylorreihe

Series[fc[x],{x,π,4}]

Plot[{fc[x],(1/2) (((π-x))^2), (1/2) (((x-π))^2)-(1/24) (((x-π))^4)},{x,-3,7}, PlotRange->{0,2}]

Tatsächlich kann man einen  quadrierten Linearfaktor ausklammern.

Potenzfunktionen

Plot[x^s/.s->4,{x,-1.2,1.2},PlotRange->{-1.2,1.2}, AspectRatio->Automatic]

Manipulate[Plot[x^s,{x,-1.2,1.2},PlotRange->{-1.2,1.2}, AspectRatio->Automatic], {{s,2}, 1,10,1}]

Platt oder nicht platt

fp[x_]:=(x-1)^2 (((x-2))^15)

Plot[fp[x],{x,0,4}]

fp'[x]//Factor

fp[(19./17)]

((fp''[x])/(((x-2))^13))//Simplify

Solve[338-608 x+272 (x^2),x]

Solve[338-608 x+272 (x^2)==0,x]//N

fp[x]/. {{x->1.037099623896299`},{x->1.1981944937507598`}}

Plot[fp[x],{x,0,4},PlotRange->{-0.0022,0.001}]

Startbeispiel

f1[x_]:=t (x+2)(((x-a))^3)(((x-3))^2)

t=0.1; a=0;

Plot[f1[x],{x,-3,4}, PlotRange->{-4,6}]

Näherungen an den Nullstellen

a=0;t=(1/10);

erste Nullstelle

g11Tay[x]=((Series[f1[x],{x,-2,3}])/(((-200)/10)(2+x)))//Normal//Expand

f11[x_]:=t(x+2)(((-2))^3)(((-2-3))^2); f11[x]

Plot[{f1[x],f11[x],g11Tay[x],1},{x,-2.1,-1.9},PlotRange->{-1.8,1.8}]

zweite Nullstelle

g12Tay[x]=((Series[f1[x],{x,0,7}])/((9/5) (x^3)))//Normal//Simplify//Expand

f12[x_]:=t(a+2)(x^3)(((a-3))^2); f12[x]

Plot[{f1[x], f12[x],g12Tay[x],1},{x,-0.7,1},PlotRange->{-0.6,1.1}]

dritte Nullstelle

g13Tay[x]=((Series[f1[x],{x,3,4}])/((27/2) (((-3+x))^2)))//Normal//Simplify

f13[x_]:=t(3+2)(3^3)(((x-3))^2); f13[x]

Plot[{f1[x], f13[x],g13Tay[x],1}, 
{x, 2.5,3.5 }, PlotRange -> {0, 1.8}]

Plot[{f1[x],f11[x],f12[x],f13[x],(((x-3))^2)},{x,2.8,3.1},PlotRange->{-0.1,0.2}]

Hier verstehe ich nicht, warum die Nährungsparabel die Ausgangskurve durchdringt.
Es müsste doch y=6.75 (((x-3))^2) eine einfache Stauchung der blauen Ausgangskurve sein!?!?!!

Von Dieter: Die Taylorentwicklung um x=3 herum zeigt, dass es einen Anteil mit (x-3)3 gibt. Dieser ist nahe an x=3 dafür verantwortlich, dass hier eine “Durchdringung” stattfindet.
6.75(x-3)2 ist das am besten approximierende Polynom vom Grad 2, aber die nächste Approximation ist (hier wie normalerweise) vom Grad 3. Nur wenn zufällig in der Taylorentwicklung der Term vom Grad 3 fehlt, nicht aber der vom Grad 4 (usw. weitere noch seltenere Fälle), gibt es keine Durchdringung.

tay1=Series[f1[x],{x,3,19}]

tay1/((27/4) (x-3)^2)

tay13=Normal[%]

andere Berechnung vom Rest

g1[x_]:= (x+2)(x^3);
 {g1[3], g1[3]t}

g13=Normal[Series[g1[x]/135,{x,3,6}]]

da kommt dasselbe heraus

Plot[{f1[x],f13[x],g13,1},{x,2.9,3.1},PlotRange->{-0.1,1.3}]

Aha, der Faktor 6.75 von (((x-3))^2), der bei x=3 genau f1[3] erzeugt, ist links daneben etwas kleiner und rechts daneben etwas größer. Mein Restpoynom g(x)=tay13 geht zwar durch (3,1), aber steigend. Daher hat Dieter recht und das Phänomen ist geklärt.
Meine Redeweise müsste sein “die anderen Linearfaktoren bilden in der Nähe von 3 fast nur einen Streckfaktor”.

Plot[{f1[x],f13[x],f13[x]*g13},{x,2.9,3.1},PlotRange->{-0.1,0.1}, PlotStyle->{{},{},{Black,Thick,Dashed}}]

Variation von a

a=.;a

Manipulate[Plot[t(x+2)*(x-a)^3*(x-3)^2,{x,-3,6}, PlotRange->{-6,6}],{{a,0},-2,3},{{t,0.1},0,3,0.01}]

3D-Version

Plot3D[0.1(x+2)*(x-y)^3*(x-3)^2,{x,-3,4},{y,-2,3}]

Trigonometrische Funktionen

Cosinus

fc[x_]:=(((Cos[x]+1))^2)

tay=Series[fc[x],{x,Pi,6}]

tay/(((x-Pi))^4)*4 //Simplify

tayc=Normal[tay]

fak=tayc/((1/4) (((-π+x))^4))//Simplify

Plot[{fc[x],(1/4) (((-π+x))^4),tayc(*,fak,1*)},{x,-1,Pi+4},PlotRange->{-1,4.5}, AspectRatio->Automatic]