09 Besondere Erzeugungsweisen für Kurven
Dieses ist Website zum Buch. Hier sind die Dateien, die die Bilder des Buches erzeugt haben, die Aufgabenlösungen, Beweis-Ergänzungen und weitere Kurven, für die im Buch kein Platz mehr war. Wenn Sie hier etwas nicht verstehen, lesen Sie im Buch. Falls Sie Fehler finden ober noch Fragen übrig sind, wenden Sie sich an mich.
9.1
Fußpunktkurven
9.2
Enveloppen
9.3
Evoluten, Evolventen
9.4
Kaustiken
9.5
Inversion am Kreis
9.6
Exoten-Kurven

Afg 9.1 Afg 9.2 Afg 9.3 Afg 9.4a Afg 9.4b Afg 9.5 Afg 9.6 Afg 9.7 Afg 9.8 Afg 9.9
Afg 9.10 Afg 9.11 Afg 9.12 Afg 9.13 Afg 9.14 Afg 9.15 Afg 9.16 Afg 9.17 Afg 9.18 Afg 9.19
b>Science Slam

9.1 Fußpunktkurven
Kap: Seite
9.1: S. 255
Siehe Abb.8.22 Fußpunktkurve der Astroide
Siehe Abb.8.9c in Blau Fußpunktkurve der Königin der Spiralen
Kap: Seite
9.1.1.1: S. 256
Abb. 9.1 Parabel
a) Parabel y^2 = -2p x mit Brennpunkt und Leitgerade in Grun. Lot und Tangente als Mittelsenkrechte (blau),
b) dazu der Pol A = (a, 0) und die Fuspunktkurve als Ortskurve von P bezüglich Q. Die Asymptote steht bei A'. Der graue Pfeil kommt erst später zum Einsatz.

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Beim Aufstellen der Gleichung muss es heißen , denn die Steigungen von Tangente und Lot müssen das Produkt -1 haben. Es war nur ein Schreibfehler, die nachfolgende Formel ist richtig.
Als Wiedergutmachung ist hier die Herleitung "von Hand" und auch die mit Mathematica gezeigt.
Mathematica-Notebook     Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.1.1.4: S. 260
Abb. 9.2 a) Beweisfigur, b) Cissoidenkonstruktion
Dieselbe Datei wie zu Abb. 9.1
im GeoGebra-Book    download
Kap: Seite
7.7.2: S. 215


9.1
Aufgabe 9.1 Sluze-Kurven als Fußpunktkurven der Parabel


Sluze-Parabelpedal download
Animierbar, links
Animierbar, rechts
   
Kap: Seite
7.7.2: S. 215

9.2

9.3


Aufgabe 9.2 Pedale der Ellipsen
Aufgabe 9.3 Pedale der Hyperbeln

Pedal-Kegelschnitte Für Hyperbeln in der Kegelschnittgleichung + durch - esetzen.
Pedalkurven der Ellipse, Gleichung
Pedalkurven der Hyperbel, Gleichung
Herleitung der allgemeinen Pedalgleichung für Ellipsen und Hyperbeln
Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Beweiszeichnung für den Satz: alle Pascal'schen Schnecken sind Pedalkurven eines Kreises und umgekehrt.
Ellipse animierbar
Hyperbel animierbar
Kap: Seite
9.1.2: S. 262



9.4


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Aufgabe 9.4 Pedalkurven der Steinerkurve
Interaktiv im Mathematica-Player
afg9.4-pedal-steiner.cdf
Info zum Mathematica-Player

Mathematica-Notebook dazu

dasselbe lesen und verstehen
Hier stehen auch alle Berechnungen und Beweise.

afg9.4-pedal-astroide.cdf    ( Info zum Mathematica-Player)
Teil-Aufgabe 9.4 Pedalkurven der Astroide
Astroide und ihre Pedalkurven, download
Mathematica-Notebook
Klicken Sie den Button enable dynamics, wenn's mal nicht losgeht.
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Hier stehen auch alle Berechnungen und Beweise.

Für das linke Bild siehe auch Kap. 8.2.2 S. 240
im GeoGebra-Book    Astroide und Quadrifolium als Pedalkurve, download
Kap: Seite
9.1.3: S. 263





Abb. 9.4
a)Tschirnhaus-Kubik als negative Fußpunktkurve der Parabel, Pol A ist der Brennpunkt F.
b) In Rot ist eine Fußpunktkurve der Tschirnhaus-Kubik gezeigt. Wo muss A stehen, damit die Parabel wieder herauskommt?

a) im GeoGebra-Book   
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b) im GeoGebra-Book   
b) download
Etwas anders gebaut, damit die rote Kurve als Ortslinie erscheinen kann. Unten nochmal "echt" konstruiert.
Aufgabe 9.5 Fußfunktkurven der Tschirnhaus-Kubik
b) "Echte" Konstruktion mit Q auf der Kubik

c) Tschirnhaus-Kubik als Kaustik der Parabel
Kap: Seite
7.7.2: S. 215

Afg9.5

Aufgabe 9.5 Pedalkurven der Tschirnhaus-Kubik Ergänzung: zweiter Teil: Betrachtung beliebiger Pole.


Interaktiv mit Mathematica
CDF-Datei direkt

Info zum Mathematica-Player

Mathematica-Notebook

Das Mathematica-Notebook zum Lesen

Hier stehen auch alle Berechnungen und Beweise.

9.2 Enveloppen, Evoluten, Involuten, Evolventen
Kap: Seite
9.2.: S. 264
Abb. 9.5 Naum-Gabo-Kurven
In diesem Bild sind die Achsen gleichmäßig eingeteilt und entsprechende Punkte verbunden. Wenn wir den y-Achsenabschnitt t nennen, dann ist die Steigung der grünen Geraden m = - t/( a-t) . Dabei ist hier a = 10, die Länge des ersten und des letzten Fadens. Die Gleichung der grünen Geraden ist damit y = - t( a-t) x + t oder in anderer Schreibweise:
F(x, y, t) = t x + (a - t)(y - t) = 0
Formel(9.8)

Die Kurvenschar mit einer solchen Standardform der Kurvengleichung (siehe Satz 2.1) zu beschreiben, bewährt sich beim Umgang mit Hüllkurven.
im GeoGebra-Book    download
Kunst-Vorschlag Man schlägt kleine Näel in ein schwarz gefärbtes Brett und spannt weiße Fäden. So hat es meine Schwester 1970 im Kunstunterricht eine Golarer Gymnasiums gemacht.
Der Russe Naum Gabo fasste sich als Künstler auf, nicht als Mathematiker.

Kap: Seite
9.2.3: S. 268
Abb. 9.6
a) Q ist zugfest auf der x-Achse. Auf Strecke FQ steht in Q eine Gerade senkrecht.
b) Die Spur der Geraden bei Bewegung von Q zeigt eine Hüllkurve
c) Zur Berechnung mit der Extremum-Methode sucht man bei festem x die „höchste“ Gerade.
Diese Konstellation ist auch als "Das rutschende Geodreieck" bekannt   im GeoGebra-Book    download
Kap: Seite
9.2.4: S. 269


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9.3 Evoluten als Hüllkurven von Normalenscharen
Kap: Seite
9.3: S. 271
Abb. 9.8
a) Normalenschar und Evolute der Parabel,
b) Die Evolute ist nicht nur Hüllkurve der Normalenschar, sondern auch Kurve der Krümmungskreis-Mittelpunkte,
c) Normalenschar und Evolute der Astroide

a) im GeoGebra-Book   
a) download
b) download
c) im GeoGebra-Book   
c) download
Parabel y=1/4 x^2, Evolute der Parabel ist eine Neil'sche Parabel, siehe
Die Ortskurve aller Krümmungskreis-Mittelpunkte ist die Evolute.
Die Astroide hat eine genau umfassende Astroide als Evolute.
Kap: Seite
9.3.3: S. 273
Abb. 9.9 Evolventen und Paralelkurven
a) Eine Parallelkurve der Parabel im festen Abstand BQ und ihr Zusammenhang mit der Evolute der Parabel (rot),
b) Parabel (grün) mit ihrer Evolute und deren Evolventen, die auch Parallelkurven der Parabel sind,
c) und d) Konstellation aus Abb. 9.8 b) zum Verstehen der gespitzten Abwickelkurven (Evolventen) in Bild b) links
a) im GeoGebra-Book    a) download     b) download    c)im GeoGebra-Book   c) download
Zusatz
Aufgabenstellung und Diskission

Berechnung der Parallelkurve zu 9.3.3.1 Seite 299 und Integral einer Parameterkurve
Halle 1 download  Halle 2 download   Halle 4 download   Halle 5 download
Kap: Seite
9.3.3.1: S. 274
Abb. 9.10 Kreis-Evolvente
a) Zeichnung zur Begrundung der Parameterdarstellung (Erklärung im Text):
x(t)=a cos(t) + a t sin(t)
y(t)=a sin(t) - a t cos(t) (9.15)
b) Der vom Kreis mit a = 2 abgewickelte Faden ist markiert für t = n pi/2.

a) im GeoGebra-Book   
a) download
b) download
Kap: Seite
9.3.3.2: S. 274
Abb. 9.11 Die Kreis-Evolvente nähert sich einer um pi/2 zuruck gedrehten archimedischen Spirale.
a) Das Rechteck OQPPA führt auf Strecke OPA = r(theta) = a t = a (theta+ pi/2) ). Diese archimedische Spirale ist violett eingezeichnet.
b) Die Annäherung ist schon nach der Abwicklung von einem Kreisumfang recht gut.
Dieselbe Datei wie b) von Abb.9.10
b) download

9.4 Reflexion und Kaustiken
Kap: Seite
9.4.1: S. 276
Abb. 9.12
a) Kardioide als Katakaustik,
b) Kardioide als passende Pascal’sche Schnecke (Limaçon) mit A = (a, 0),
c) Kardioide als Hüllkurve von Kreisen um Punkte des grünen Kreises.
Der Beweis in der Mitte ist bemerkenswert: Erst durch das Verwiklichen beider Konstruktionen in GeoGebra kommt man auf den entscheidenden Beweisgedanken. Siehe Text im Buch
a) im GeoGebra-Book    a) download    b) im GeoGebra-Book    b) download   c) im GeoGebra-Book    c) download
Kap: Seite
9.4.1.6: S. 279




9.6
Animiertes Bild

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Kardioide

Aufgabe 9.6 Die drei Tangenten

In dieser Lösung zu Aufgabe 9.6 sind Rechungen zu beiden Stellungen und ausführliche Erkärungen zum nachfolgenen Bild.


Datei zu dem animierten Bild



Aufgabe 9.6 Die drei Tangenten

In dieser Lösung zu Aufgabe 9.6 sind Rechungen zu beiden Stellungen und ausführliche Erkärungen zum linken Bild.Datei zu der Lage im linken Bild mit Erklärungen



Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.4.1.6: S. 279

9.7


Aufgabe 9.7 Evolute der Kardioide

obiges download
Mathematica-Notebook       Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.4.2: S. 280
Abb. 9.13
a) Nephroide als Hüllkurve aus Kreisen,
b) Nephroide als Hüllkurve von Kreisen, die alle die y-Achse berühren, Mittelpunkt Qk auf einem Ursprungskreis mit Radius a,
c) Nephroide als gespitzte Epitrochoide (Epizykloide) mit Rastkreisradius a, Rollkreisradius a/2
a) im GeoGebra-Book    a) download     b) und c) im GeoGebra-Book   b) und c) download
Kap: Seite
9.4.2.2: S. 281
Abb. 9.14
a) Nephroide als Katakaustik, Reflexion an einem Kreis mit Radius 2a,
b) Konstruktion der Reflexion parallelen Lichtes,
c) Beweisfigur: die Reflexion passt zur Hüllkurven- Konstruktion aus Abb. 9.13 b)
a) im GeoGebra-Book    a) download   b) und c) im GeoGebra-Book    b) und c) download
Kap: Seite
9.4.2:4 S. 283

Abb. 9.15 Evolute der Nephroide
Aufgabe 9.8: Konstruieren Sie die Normalenschar (siehe 9.3.2). Die Evolute ist eine um 90° gedrehte, auf die Hälfte verkleinerte Nephroide. Realisieren Sie handwerklich, dass der Berührpunkt P die Mitte zwischen Q und dem einen Schnittpunkt der Normalen mit dem (hellblauen) Grundkreis ist.
Im Bild sind die Normalen nur bis zur x-Achse gezeichnet und die untere Hälfte ist durch Punktspiegelung am Ursprung erzeugt.

im GeoGebra-Book    download

Aufgabe 9.8 Nephroide und ihre Evolute






Bedeutung des Parameters t in der waagerechten Lage der Ausgangs-Nephroide

Mathematica-Notebook für Aufgabe 9.8
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Die Mitten der Strecken $QB$ liegen auf der Evolute
Unabhängige Bestätigung
Dazu weiteres in Aufgabe 9.11.

Mathematica-Notebook für Aufgabe 9.8
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.4.2.4: S. 283


Zusatz
Zusatz: Das Tangentenquartett in Aufgabe 9.8 Nephroide und ihre Evolute (unten)


Tangentenquartett download
Kap: Seite
9.4.3: S. 282

9.9
Aufgabe 9.9 Die Nephroide und ihre Pedalkurven


download


Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.4.2.4: S. 283


9.10

Abb. 9.16 Eine Kaustik der Kardioide ist die Nephroide
Aufgabe 9.10: Zeichnen Sie eine Kardioide als Parameterkurve nach Gleichung 9.16 ohne das +a. Konstruieren Sie zu einem zugfesten Punkt Q Tangente und Normale. Das Bild der Geraden AQ bei Spiegelung an der Normalen ist der reflektierte Strahl. Auf ihm definieren Sie eine Strecke, deren Spur die Nephroide zum Vorschein bringt. Raten Sie die Nephroidengleichung und prüfen Sie durch Einzeichnen. Wenn Sie mögen, leiten Sie die Gleichung her.
Die unteren Strecken erhält man durch Spiegeln der oberen an der x-Achse.

Aufgabe 9.10 Die Nephroide als Katakaustik der Kardioide

Übriges: Kaustik heißt Brennlinie.
Wenn diese durch Reflexion entsteht, heißt sie Katakaustik

Wenn diese durch Brechung entsteht, heißt sie Diakaustik

Datei für das obere Bild

Die Beweis-Konstruktion


Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen

Die Idee für einen rechnerischen Beweis ist folgende: Zu Q auf der Kardioide werden die Tangentensteigung und die Gleichung der Normalen, die als Einfallslot dient, bestimmt. Das Lot von A auf die Normale hat den Fußpunkt S, die Spiegelung von A an S liefert K. Die Schar der Geraden QK, oder Ausschnitte davon, erzeugen als Hüllkurve die Nephroide.
Kap: Seite
9.4.2.4: S. 283


9.11
Aufgabe 9.11 Nephroide und Analysis


Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Betrachtungen zu der rechten Seite finden sich in
Aufgabe 9.11 Nephroide und Analysis
und Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen


Die Mitteneigenschaftet ist in
Aufgabe 9.8 Nephroide und ihre Evolute (unten)
bewiesen.
Mitten und andere Abstände

9.5 Inversion am Kreis
Kap: Seite
9.5.1.1: S. 285
Abb. 9.17 Kreisspiegelung = Inversion am Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius k.

Vorschlag: Mit Bild c) und dem Blackbox-Whitebox-Verfahren die Inversion erkunden.
a)download
b)download
c) im GeoGebra-Book   
c)download

Bild a) Abbildung eines Punktes A im Innern des Inversionskreises: Senkrechte auf MA, in einem Schnittpunkt mit dem Kreis Tangente als Senkrechte auf dem Radius, Schnittpunkt von Tangente und MA ist der Bildpunkt A'.
Bild b) Umgekehrt: Abbildung eines Punktes A auserhalb des Inversionskreises: Thaleskreis auf Strecke MA, im Schnittpunkt Lot auf MA fällen, der Lotfußpunkt ist der Bildpunkt A'.
Bild c) Mit dem Button "Kreisspiegelung" werden Polygone (Kirche, Quadrat, Dreieck) am blauen Kreis gespiegelt.
Kap: Seite
9.5.1.4: S. 287
Abb. 9.18 Inversion komplex:
a) die komplexe Zahl z, ihre konjugiert komplexe Zahl ¯z und beide algebraisch Inversen, ihre Kehrwerte.
Die Punkte auf einem Strahl sind geometrisch invers.
b) Die Gauß’sche Zahlenebene wird eineindeutig auf die Riemann’sche Zahlenkugel abgebildet.

im GeoGebra-Book    download
Kap: Seite
9.5.2: S. 288
Abb. 9.19 Inversion von Kurven an einem Kreis vom Radius k um den Ursprung O. Die Beweise folgen im Text, für b) und c) in Abschnitt 9.5.2.3.
a) im GeoGebra-Book   
a) download     
b)im GeoGebra-Book   
b) download
c) im GeoGebra-Book   
c) download
Bild a) Eine Parallele zur y-Achse (grün strichpunkt) durch A = (a, 0) wird abgebildet auf einen zu OA symmetrischen Kreis (rot strichpunkt) durch O und ( k^2/a , 0). Eine beliebige Gerade (grün) wird auf einen Kreis (ockerfarben) durch O abgebildet. Ein beliebiger Kreis (hellgrün) wird auf einen Kreis (violett) abgebildet, wobei das Bild (+ violett) seines Mittelpunkts (+ grün) nicht Mittelpunkt des Bildkreises wird.
Bild b) Durch eine Leitgerade (hellgrün gestrichelt) und einen Brennpunkt im Ursprung wird die grüne Parabel definiert. Ihr Inversionsbild ist eine Kardioide mit ihrer Spitze im Ursprung. Die blauen Tangenten an die Parabel haben als Bilder Kreise durch den Ursprung, die die Kardioide von innen berühren.
Bild c) Durch die Leitgerade und den Ursprung wird zunächst der Brennpunkt durch Punktspiegelung und dann die grüne Parabel definiert. Ihr Bild (rot) ist die Cissoide des Diokles mit der Asymptote (blau). Unten zeigt sich, dass diese nicht immer durch den Brennpunkt der Parabel verläuft.
Kap: Seite
9.5.4.1: S. 292
Abb. 9.20 Inversion der Strophoide ergibt dieselbe Strophoide, wenn ihr Scheitel im Ursprung und ihr Doppelpunkt auf dem Inversionskreis liegt. Man sagt, die Strophoide ist an-allagmatisch.

Das Bildpaar links zeigt, wie schon oft in diesem Buch, die gekoppelte polar-kartesische Darstellung. Die grüne Urbild-Strophoide ist nur bis thtea = 2.8 gezeichnet, das gilt dann auch für ihr rotes Bild. Orangefarben gestrichelt ist die gesamte Bild-Strophoide.

im GeoGebra-Book   
download

Kap: Seite
9.5.5: S. 293


9.12

im GeoGebra-Book    download
Aufgabe 9.12 Inversion der Kegelschnitte in Scheitellage

Mathematica-Notebook gemeinsame Datei für Aufg. 12, 13 und 14
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.5.5: S. 293


9.13

Aufgabe 9.13 Inversion der Kegelschnitte in Brennpunktlage

Oberes im GeoGebra-Book   
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Mit Bezug zur Konstruktion der Pascalschen Schnecken

download
Mathematica-Notebook gemeinsame Datei für Aufg. 12, 13 und 14
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.5.5: S. 293


9.14
Aufgabe 9.14 Inversion der Kegelschnitte in Mittelpunktslage

im GeoGebra-Book   
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Mathematica-Notebook, gemeinsame Datei für Aufg. 12, 13 und 14
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.5.5: S. 294


9.15
Aufgabe 9.15 Inversion der Steiner-Kurve

im GeoGebra-Book   
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Mathematica-Notebook, Herleitung der immplziten Gleichung
Das Mathematica-Notebook dazu zum Lesen
Mathematica-Notebook, Lösung Afg. 9.15
Das Mathematica-Notebook dazu zum Lesen
Kap: Seite
9.5.6: S. 294
Abb. 9.21 Inversion von evt. anallagmatischen Kurven
a) Die Steiner-Kurve und eines ihrer Inversionsbilder, s. Aufgabe 9.15,
b) und c) Cassini’sche Kurven invertiert, s. Aufgabe 9.16,
d)Königin der Spiralen invertiert, s. Aufgabe 9.17

a) im GeoGebra-Book       a) download siehe auch Afg. 9.15.    
b) und c)im GeoGebra-Book       b) download    c) download siehe auch Afg. 9.16   
d) im GeoGebra-Book       d) download siehe auch Afg. 9.17
Kap: Seite
9.5.6.2: S. 295



9.16

Aufgabe 9.16 Cassini'sche Kurven und ihre Inversion

im GeoGebra-Book   
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Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook
zum Lesen
Kap: Seite
9.5.6.2: S. 295


9.17
Aufgabe 9.17 Königin der Spiralen
und ihre Inversion


im GeoGebra-Book   
download

9.6 Exoten-Kurven
Kap: Seite
9.6.1: S. 296
Verbale Aufgabe S. 296 f zur konstanten Krümmung
Kap: Seite
9.6.2: S. 297
Abb. 9.22 Keine Straße ohne Klothoide
a) „ganze“ Kurve,
b) Fahrbahn: Gerade, Klothoide, Kreis, Klothoide, Gerade,
c) Krümmungsverlauf

a) im GeoGebra-Book   
a) download
b) und c) im GeoGebra-Book   
b) und c) download
ZusatzKlothoide, Modell-Eisenbahn, reale Trassen
In drei Vorträgen verwendet:
Sience Slam (Leuphana Universität, Nov. 2016)
Klothoide und andere Anwendungen von Kurven (MNU Brmerhaven Nov. 2017)
Keine Stroße ohne Klothoide, (GDM und DMV Paderborn März 2018)
Kap: Seite
9.6.3: S. 299
Abb. 9.23 Traktrix, der Weg der Uhr an der Kette
Man stelle sich vor, eine Taschenuhr P werde mit einer Kette der Länge k an einer Tischkante entlang gezogen. Beim Start ist die Kette senkrecht zur Tischkante. Die Uhr P bewegt sich dann auf einer Kurve, die in jedem Moment die Richtung der Uhrkette als Tangente hat.

im GeoGebra-Book    download
Kap: Seite
9.6.4.1: S. 300
Abb. 9.24 Hyperbolicus-Funktionen
a) und b) Kettenlinie: Über das Foto einer hängenden Kette ist in Rot die Kettenlinie gelegt und in Blau zum Vergleich eine Parabel angezeigt,
c) und d) Kosinus- und Sinus hyperbolicus Funktionen sind als Mittenkurven elementarer e-Funktionen dargestellt.
a) und b) im GeoGebra-Book    a) und b) download
Berechnungen dazu ausführlich in Aufgabe 9.18 Punkt 4.
Kap: Seite
9.6.4.4: S. 303
Abb. 9.25 Die Areafunktionen liefern tatsächlich Flächen. Aus sinh(x) = 0.85 folgt mit dem Areasinus x = arsinh(0.85) = 0.77 und das ist die Größe der pfeilförmigen (grünen) Fläche, ein Areal.
Ebenso folgt aus cosh(x) = 1.3 nun mit dem Areakosinus x = arcosh(1.3) = 0.77. Die gekoppelten Grafikfenster zeigen die Zusammenhänge.

im GeoGebra-Book    download

Verbreitet herrscht Unkenntnis und die Funktionen werden ArcusKosinusHyperbolicus u.s.w. genannt. Z.B. in Mathematica heißt es ArcCosh[...]. Darum hier die entsprechende Seite aus dem Buch
und die zugehörige Mathematica-Datei Area hyperbolicus Mathematica-Notebook und < target="_blank" a href="areahyperbolicus.pdf"> Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Kap: Seite
9.6.4: S. 305


9.18 Punkte 1. und 2.
Aufgabe 9.18 Kettenlinie

Diese Aufgabe hat mehrere Teile, die in der pdf-Datei gemeinsam behandelt sind. Die Bilder und zugehörige Dateien folgen hier einzeln.



download Kettenlinie Krümmnung

9.18 Punkte 3. und 4. Parabel und Kettenlinie in
Aufgabe 9.18 Kettenlinie download weite Form der Parabel
download enge Form der Parabel
9.18 Punkt 5. Kettenlinie, ihre Evolvente, Taktrix und deren Evolute in
Aufgabe 9.18 Kettenlinie

download Kettenlinie und Traktrix

Kap: Seite
9.6.4.5: S. 306
Abb. 9.26 Die Storebælt-Brücke (Dänemark) auf einem Plakat zum „Word Mathematical Year 2000“, die in GeoGebra erzeugte gelbe Parabel ist von mir hinzugefügt. Wie die Beschriftung deutlich macht, haben nämlich Seile, die (Linien-)Lasten tragen, nicht die Form einer Kettenlinie, sondern die Parabelform ist angemessen.


Quelle: DMV-Website 2000, http://www.mathematik.de/mde/information/wasistmathematik/wasistmathematik.html
Thomas Perters http://www.mathe-seiten.de/kettenlinie.pdf, Bweise für Kettenlinie, aber auch für Parabel bei Linieanlast.
Bild: © Vagn Lundsgaard Hansen
Kap: Seite
9.6.4.5: S. 306
Afg. 9.18
Abb. 9.27 Rotationskörper, die x-Achse weist nach oben.
a) Hyperboloid,
b) Paraboloid,
c) Katenoid, die Minimalfläche, sie wird von einer Seifenhaut zwischen den zwei Kreisen gebildet.

In der nachfolgenden Mathematica-Datei sind auch diese 3D-Bilder erzeugt.
Kap: Seite
9.6.4.5: S. 308
   9.19
download

Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
Aufgabe 9.19 Katenoid als Minimalfläche



Sie finden Weiteres zu Kurven auf meiner Site www.mathematik-verstehen.de im Bereich Kurven

email.gif 12x9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn Erstellt August 2016, Update 19.03.2018 www.kurven-erkunden-und-verstehen.de